ENIGMES

Problèmes pratiques

Argent

Le franc manquant


3 militaires ont une permission.
Ils vont au bar mais n'ont que 10 francs chacun en poche.
Or c'est le prix d'un café.
Ils demandent une ristourne à la serveuse qui va voir le patron.
Ce dernier consent à leur faire une ristourne GLOBALE de 5 francs.
Mais la serveuse se dit que cela n'est pas divisible par 3.
Elle décide donc de ne faire une réduction que de 1 franc par militaire,
et de garder la différence de 2 francs.
Nous avons donc au final :
3 * 9 = 27 francs + les 2 francs de la serveuse = 29 francs.
Mais ma parole, il manque 1 franc ???

Indice 1
Indice 2
Indice 3
Réponse

On ne peut additionner les 2 frs serveuse car elle les prends sur les 27.
Véritables calculs:
30-3 réduc=27/3 millitaires=9 frs la café.
3*9=27-2serveuse=25 pour le patron.
ou 25 patron + 2 serveuse + 3 réduc = 30 = 3 militaires * 10 frs.

30 centimes


Picsou à 2 pièces de monnaie qui font en tout 30 centimes,
Etant donné que l'une des pièces n'est pas une pièce de 10 centimes,
Quelle est la valeur de chacune des pièces ?

Réponse

Il y a une pièce de 10 et une de 20 ainsi l'une des pièces n'est pas une de 10 puisque c'est une de vingt.

Les 2 cigares


Max a acheté 2 cigares qui lui ont couté 10,10 frs.
Un des cigares coutait 1 frs de plus que l'autre.
Quel était le prix de chaque cigare ?

Réponse

4.55 frs + 5.55 frcs = 10.10 frs.

Des enveloppes


Deux enveloppes remplies de billets sont à votre disposition...
L'une contient deux fois plus d'argent que l'autre.
Vous prenez une des deux enveloppes au hazard et en regarder le contenu.
Avez vous l'intérêt à la conserver ou à l'échanger pour l'autre ?

Réponse

Pour comprende cette énigme, il faut essayer de se placer dans le contexte.

Vous avez ouvert l'enveloppe, dedans il y a par exemple n=10 euros.
Si vous l'échangez, vous aurez donc soit n/2=5 euros, soit 2n=20 euros.
L'espérance de gain en prenant l'autre enveloppe est donc de (n/2)/2 + (2n)/2 = 1,25n.
Soit avec notre exemple 12,5 euros.
Alors qu'en choisissant de ne pas l'échanger, votre espérance de gain est de 1O euros.
Etrangement il semble donc que vous ayez intéret à l'échanger.

Pourtant si l'on considère que les enveloppes contiennent une somme fixe respectivement n et 2n, que vous échangiez ou non les enveloppes, votre espérance de gain (absolue) est identique (elle vaut 1.5n).

Ce paradoxe est appelé le paradoxe des deux enveloppes (two envelopes problem).

En réalité la première réponse est juste si l'on considère uniquement le deuxième choix, celui de l'échange sans prendre en compte le premier, celui du choix des enveloppes.
Si l'on considère l'ensemble des deux choix, que l'on peut assimiler à deux tirage aléatoire, alors l'espérance calculée sur un seul choix ne suffit pas a déterminer s'il est bon.

Pour comprendre un peu mieux, prenons un jeu simple :
Vous avez un montant en votre possession, montant qui va varier au cours du jeu.
A chaque partie vous le remettez en jeu entièrement : si vous gagnez vous doublez votre montant, si vous perdez il ne vous en reste que la moitié.
Si vous avez la même probabilité de gagner et de perdre, votre espérance de gain à l'infini est de 0, puisque si vous gagnez le même nombre de partie que vous en perdez, vous retombez sur votre montant initial. Statitistiquement vous ne gagnez pas de l'argent en jouant. Pourtant à chaque partie, votre espérance de gain sur la partie vous incite à rejouer. L'astuce est que si vous gagnez une partie, à la partie suivante vous perdez deux fois plus car vous misez deux fois plus.

Prenons maintenant une variante de ce même jeu.
Tout comme dans le jeu précédent vous mettez en jeu à chaque partie une mise x.
Si vous gagnez vous doubler la mise (vous recevez 2x) et si vous perdez vous en perdez la moitié (x / 2).
Seulement cette fois-ci, à chaque partie vous misez la même somme x (pour cela on suppose que vous avez une réserve d'argent suffisamment grande (infinie) pour palier à plusieurs échec successif).
Dans ce cas là, si vous gagnez le même nombre de partie que vous en perdez, vous aurez gagné de l'argent (n * x / 4 ; avec n le nombre total de partie).
Ici, une partie du jeu n'influence pas les autres parties puisque le montant misé reste inchangé, vous avez intéret à continuer de jouer (ce qui n'arrive jamais avec les jeux d'argent existant ^^).

Le pari


Si quelqu'un vous disais:
"je vous parie 10 frs que si vous me donnez 20 frs,
je vous donnerais 30 frs en retour."
Serais-ce un bon pari pour vous ?

Réponse

Soit il tient parole et vous lui donnez 20 plus les 10 du pari vous,
comme il vous en donne 30, vous ne perdez ni ne gagnez rien.
Soit il ne tient pas parole et vous lui donnez 20 au départ mais il ne vous rend que 10 du pari
et vous perdez donc 10 frs.
Il faudrait donc penser à s'abstenir de parier (car s'il vous propose cela il choisira la deuxième option).
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