ENIGMES

Problèmes pratiques

Poids

La fausse pièce


Parmi huit pièces apparemment identiques, se cache une pièce fausse remarquablement imitée.
On sait seulement qu'elle est un peu plus lourde que les vraies...
On dispose d'une balance manuelle (pas de graduation, une flèche et deux plateaux).
Comment déterminer la fausse pièce en DEUX pesées ?

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Indice 2
Indice 3
Réponse

Mettre trois pièces de chaque coté de la balance:
- Si elle ne bouge pas, il suffit de mettre les deux pièces restantes sur un plateau et de voir la plus lourde.
- Sinon la fausse pièce fait partie des trois pièces du côté le plus lourd.
Il reste donc a comparer deux de ces pièces en gardant la troisième hors de la balance.
Si le plateau penche d'un côté, la pièce de ce côté là est fausse.
Sinon c'est la pièce en dehors de la balance qui est fausse.

La mine des nains


Dans une mine d'or il y a dix nains.
Chacun d'eux est chargé d'extraire et de tailler 10 lingos par jour.
Un jour le propriètaire découvre que l'un de ses travailleurs vole 1 gramme par lingo chaque jour, mais il ne sait pas lequel.
IL dispose d'une balance très précise pour essayer de démasquer le traitre mais il n'a droit qu'à une seule pesée.
Comment va t-il s'y prendre ?

Réponse

Il met 1 lingo du 1er nain, 2 du 2ème, ... et 10 du 10ème:
Si il manque 1g, c'est le 1er, 2 le 2ème, ... et 10 le 10ème.

Les billes


Avec 3 pesées et une balance à plateau, comment peut-on identifier la bille (parmi les 12 billes numerotées) qui est différente des autre ?

(Elle est soit plus legère soit plus lourde).
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Indice 2
Réponse

Pour résoudre ce problème, nous introduisons la notion de cheminement.
Le cheminement d'une pièce est la succession des positions qu'elle occupe au cours des trois pesées :
G si elle est sur le plateau de gauche,
D si elle est sur le plateau de droite,
X si elle ne participe pas à cette pesée.

À partir des résultats des trois pesées, il est facile de déterminer le cheminement de la pièce qui est différente des autres.
Par exemple si à la première pesée la balance a penché à gauche, à la deuxième pesée elle était équilibrée, et à la troisième elle a penché à droite, on sait que la pièce recherchée a suivi soit le cheminement GXD (et alors elle est plus lourde que les autres), soit le cheminement DXG (et elle est plus légère que les autres).

Pour que les résultats des pesées permettent d'identifier sans ambiguïté la pièce recherchée, il faut donc que toutes les pièces aient des cheminements différents.
Il faut aussi éviter que deux pièces aient des cheminements "opposés" (c'est-à-dire que l'une soit toujours dans le plateau de droite quand l'autre est dans le plateau de gauche et vice versa, comme GGD et DDG), car dans ce cas on ne peut pas savoir si une pièce est trop lourde ou l'autre est trop légère.

Le problème se ramène donc à affecter un cheminement à chaque pièce en respectant les règles suivantes :

1. deux pièces distinctes n'ont jamais le même cheminement.
2. deux pièces distinctes n'ont jamais des cheminements "opposés".
3. aucune pièce n'a le cheminement XXX (car si la pièce qui est différente des autres ne participe à aucune pesée on n'aura aucun moyen de savoir si elle est plus lourde ou plus légère).
4. à chaque pesée il doit y avoir autant de G que de D.

On peut maintenant dresser la liste des 3x3x3 = 27 cheminements possibles et chercher à en sélectionner 12 satisfaisant ces quatre règles. En supprimant le cheminement interdit XXX, on peut regrouper les autres en 13 paires de cheminements opposés deux à deux.

Pesée:
1 X X X X X X X X D G D G D G D G D G D G D G D G D G
2 X X D G D G D G X X X X X X D G D G D G G D G D G D
3 D G X X D G G D X X D G G D X X D G G D X X D G G D

Il suffit alors de sélectionner un cheminement dans chaque paire sauf une, en veillant à respecter la règle n° 4. On constate rapidement que chaque pesée comporte nécessairement 4 pièces dans chaque plateau, et les solutions s'ensuivent.
(Merci Romain)

Boules de fer


Sur Palau (une île du Pacifique), si vous laisser tomber une boule pesant 45 livres dans une eau à 20º Fahrenheit, tombera-t-elle plus rapidement qu'une autre boule pesant 45 livres tombant dans une eau à 40º Fahrenheit ?

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Réponse

L'eau est gelée à 20 degré fahrenheit et est à 5°C à 40° Fahrenheit,
donc la boule tombera plus vite dans une eau à 40° Fahrenheit
car elle ne tombera pas dans une eau à 20° fahrenheit.
(Merci Adri)

Contenu et contenant


Si le contenu pèse le tiers de son contenant et que le dit contenant pèse avec son contenu l'équivalent de 10 litres d'eau,
Quel est le poid de ce contenu ?

Réponse

Soit x=poids du contenu et y=poids du contenant
donc y=3x et x+y=10 d'où x+3x=10 => 4x=10 => x=10/4=2,5
Le contenu pèse donc 2,5kg.

Impots royaux


Un Roi perçoit annuellement les impôts de ses 12 provinces.
Or, il apprend par ses espions qu'une des provinces tente de le berner en diminuant la quantité d'or dans les pièces qu'elle lui remet de 10%.
Si chaque province remet 40 pièces, et sachant le poids d'une pièce normale,
Comment le roi parviendra-t-il à trouver la province fautive s'il ne dispose que d'une balance lui permettant une seule pesée ?

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Indice 3
Réponse

Il pose sur la balance 1 pièce de la première province, 2 de la deuxième, ..., 12 de la douzième.
La différence entre le poids mesuré et le poids calculé du nombre de pièces pesées indique la province fautive.

L'autre fausse pièce


On dispose de 10 pieces de monnaie identiques, du moins en apparence.
Parmi ces 10 pieces, 1 est fausse.
La seule différence avec les autres c'est son poids.
On dispose d'une balance à 2 plateaux ne permettant que de comparer 2 poids.
Comment déterminer quelle est la fausse pièce et si elle plus lourde ou plus legère que les autres, en 3 pesées seulement ?

Pour les plus malins, Pilou propose la variante suivante:
Dans cette enigme, remplacez "10 pieces" par "12 pieces", il faut alors ruser un petit peu plus...
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Réponse

1ere pesée :
On met 3 pièces à gauche et 3 pièces à droite. On laisse 4 pièces à coté.
CAS A. Si le plateau s'équilibre, la fausse pièce est dans les 4 pièces rester à coté.
CAS B. Si le plateau penche d'un coté, la fausse pièce est dans ces 6 pièces.

2eme pesée :
CAS A. Dans le lot de 4 pièces restées à coté, on en prend 3 que l'on compare avec 3 pièces prise dans les 6 pièces déjà pesée (qui servent de références).
Cas A.1 Le plateau s'équilibre : la fausse pièce est celle mise à part.
Cas A.2 Le plateau ne s'équilibre pas : la fausse pièce est dans ce lot.
Par cette pesée on a déterminé si la fausse pièce est plus lourde ou plus légère qu'une pièce normale.
CAS B. On enlève arbitrairement le lot de 3 pièces le plus léger que l'on remplace par 3 pièces dans les 4 pièces rester à coté (qui servent de références).
Le plateau s'équilibre : la fausse pièce est dans le lot le plus léger qui a été enlevé donc la fausse pièce est plus légère.
Le plateau ne s'équilibre pas : la fausse pièce est dans le lot le plus lourd qui est resté donc la fausse pièce est plus lourde.
Par cette pesée on a déterminé si la fausse pièce est plus lourde ou plus légère qu'une pièce normale.

3eme pesée :
CAS A.1 On pèse la fausse pièce avec n'importe quelle autre pièce.
Par cette pesée on a déterminé si la fausse pièce est plus lourde ou plus légère qu'une pièce normale.
CAS A.2 / CAS B. Dans le lot de 3 pièces dont on sait qu'il contient la fausse pièce, on prend 2 pièces que l'on pèse.
Le plateau s'équilibre : c'est la 3éme pièce rester sur le coté qui est fausse et grâce à la 2éme pesée on sait si elle est plus lourde ou plus légère.
Le plateau ne s'équilibre pas : grâce à la 2éme pesée on sait si la fausse pièce est plus lourde ou plus légère donc on trouve facilement la fausse pièce.

Et voilà!!! ;)
(Merci Nenes)

Sacs de pièces


J'ai trois sacs de pieces.
Deux contiennent des fausses pièces, un seul contient des vraies.
Un fausse pièce pèse 10g et une vraie 12g.
On veut savoir quel sac renferme les vraies pièces.
Comment le savoir en une seule et unique pesée avec une balance à plateau sans graduation ?

Comment le savoir en une seule et unique pesée avec une balance classique (indiquant le poids en grammes) ?

Réponse

1)
Il faut mettre une pièce du 1er sac sur le plateau gauche, et une pièce du 2ème sac sur le plateau droit.
-> Si l'aiguille de la balance penche à gauche, c'est le 1er sac qui contient les vraies pièces.
-> Si l'aiguille penche à droite, c'est le 2ème sac qui contient les vraies pièces.
-> Si l'aiguille reste au milieu, alors c'est le 3ème sac qui contient les vraies pièces.

2)
Il faut peser 1 pièce du premier, 2 du second, 3 du troisième:
- si on trouve 70g le premier contient les vraies pièces.
- si on trouve 68g le deuxième contient les vraies pièces.
- si on trouve 66g le troisième contient les vraies pièces.
(Merci Olivier.Astruc)
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